指南
三枚铜钱不会等机率地产生四种爻。
一次三枚铜钱的起卦，会以下列机率给出 6、7、8、9 的爻值：1/8、3/8、3/8、1/8——而不是某些数位工具所假设的、各自均匀的 1/4。变爻（6 与 9）等机率，各为 1/8：也就是每爻 1/4 的机率，一次六爻起卦大约是1.5 个动爻。
推导
每枚铜钱落在两面之一，分别计为 2 或 3，且等机率。三枚铜钱给出2³ = 8 种等机率的组合，而爻值就是它们的总和（最小 2+2+2 = 6，最大 3+3+3 = 9）：
| 爻 | 类型 | 变爻？ | 组合数（共 8） | 机率 |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 老阴 | 是 → 阳 | 1 | 1/8 = 12.5% |
| 7 | 少阳 | 否 | 3 | 3/8 = 37.5% |
| 8 | 少阴 | 否 | 3 | 3/8 = 37.5% |
| 9 | 老阳 | 是 → 阴 | 1 | 1/8 = 12.5% |
1 : 3 : 3 : 1 这组数正是 (a + b)³ 的二项式系数。整条规则就只有这些——下面的一切都只是它所蕴含的结果。
铜钱 vs 蓍草 vs 天真的 1/4
更古老的蓍草占法会产生一个不同的分布，而平直的「6/7/8/9 各取 1/4」则两者都不符合：
| 结果 | 三枚铜钱 | 蓍草 | 天真的均匀 |
|---|---|---|---|
| 6 — 老阴（变） | 1/8 | 1/16 | 1/4 |
| 7 — 少阳 | 3/8 | 5/16 | 1/4 |
| 8 — 少阴 | 3/8 | 7/16 | 1/4 |
| 9 — 老阳（变） | 1/8 | 3/16 | 1/4 |
| 任一变爻（6 或 9） | 1/4 | 1/4 | 1/2 |
蓍草的分数（1 : 5 : 7 : 3）是标准 50 根蓍草仪式、在无偏分堆下的理论值。天真的均匀法把变爻比率翻倍，从 1/4 到 1/2——你会得到动爻的频率，是任何实体起卦所容许的两倍。
多数解释错在哪里
人们普遍重复说，蓍草比铜钱产生「更少的动爻」。这不是真的。两种方法都给出1/4 的变爻总比率（铜钱 1/8 + 1/8；蓍草 1/16 + 3/16），以及每次起卦期望 1.5 个动爻。真正不同的是哪一种爻在变：
- 铜钱是对称的。变阳（9）与变阴（6）等机率，各为 1/8。
- 蓍草是不对称的。变阳（9，3/16）的机率是三倍于变阴（6，1/16）；稳定的少阴（8，7/16）是单一最常见的结果。
所以铜钱与蓍草之间真正的差异，是变化的阴阳平衡，而不是变化的数量。
为什么 YiGram 用真实分布
YiGram 以真实的三枚铜钱分布（1/8、3/8、3/8、1/8）起卦，因此你抽到动爻——进而得到变卦——的比率，符合一次实体起卦，而不是一条捷径。起卦规则是开放、有版本控管的规则集的一部分：在 GitHub 上阅读，或在方法论里看这三层如何彼此契合。
问答
- 易经的爻值 6、7、8、9 是等机率的吗？
- 不是。用三枚铜钱时，它们出现的机率是 1/8、3/8、3/8、1/8——也就是二项式的 1:3:3:1 比例，而不是各自平均的 1/4。
- 多久会出现一个变爻？
- 一爻在它是 6 或 9 时会变，也就是每爻 1/8 + 1/8 = 1/4——一次六爻起卦大约有 1.5 个动爻。铜钱与蓍草的总量是相同的。
- 蓍草和三枚铜钱给出相同的机率吗？
- 变爻的总比率是相同的（1/4），但蓍草是不对称的：一个变阳（9）的机率是变阴（6）的三倍。三枚铜钱则让两者等机率。
- 三枚铜钱法是不是比蓍草法不准确？
- 两者都不是「更准确」——它们编码的是不同的机率。真正错的是某些数位工具用的那种天真做法「6/7/8/9 各取 1/4」：它既不符合任何一种方法，又把变爻比率翻倍到 1/2。